첫 번째 수학 위기는 무리수의 탄생이었다. 근호 2 는 두 개의 정수로 나눌 수 없다는 것을 발견하고, 결국 무리수는 실수 범위에 포함됐다.
제 2 차 수학 위기는 미적분 도구의 사용에서 유래한 것으로, 정의가 엄격하지 않고 무한대의 이러한 개념들이 논란을 불러일으켜 결국 실수 이론, 한계 이론을 수립하여 수학 분석을 엄격하게 기초를 다졌다.
세 번째 수학 위기는 * * * 이론, 즉 유명한 러셀 역설, * * * 의 정의가 공격을 받았다. 결국 다른 공리화 시스템을 통해 해결되어 수리논리 등 학과가 발전하게 되었다.
역사상 세 번의 수학 위기는 사람들에게 큰 번거로움을 가져왔다. 위기의 출현은 사람들로 하여금 기존 이론의 결함을 인식하게 하고, 과학에서의 역설의 발생은 종종 인류의 인식이 새로운 단계에 들어설 것임을 예고한다. 그래서 역설은 과학 발전의 산물이자 과학 발전의 원천 중 하나이다. 첫 번째 수학 위기는 사람들에게 무리수를 발견하고, 완전한 실수 이론을 세우고, 유클리드 기하학도 생겨났고, 기하학 공리 체계를 확립했다 제 2 차 수학 위기의 출현은 직접적으로 극한 이론, 실수 이론, * * * * 이론 3 대 이론의 출현과 보완으로 이어져 미적분을 견고하고 완벽한 기초 위에 세웠다. 세 번째 수학 위기로 * * * 이론을 완전한 * * * 공리체계 (ZFC 시스템) 로 만들어 수학 기초 연구와 수학 논리의 근대성을 촉진시켰다.