현대 대수학의 발전사

추상대수학은 현대대수학이라고도 불리며 19세기에 제작되었습니다.

추상대수학은 다양한 추상 공리 대수학 시스템을 연구하는 수학 분야입니다. 대수학은 벡터, 초수 행렬, 변환 등과 같은 실수와 복소수 이외의 개체 집합을 처리할 수 있으므로 이러한 개체 집합 간의 구별은 자체 계산 법칙에 따라 결정되며 수학자들은 추상 기법을 사용하여 개별 개체를 처리합니다. 계산* **일부 내용이 승화되어 더 높은 수준에 도달하여 추상대수학이 탄생했습니다. 추상 대수학에는 군론, 고리 이론, 갈루아 이론, 격자 이론, 선형 대수학 등 많은 분야가 포함됩니다. 이는 수학의 다른 분야와 결합되어 대수 기하학, 대수 정수론, 대수 위상수학, 위상수학 같은 새로운 수학적 학문을 만들어냅니다. 그룹. 추상 대수학은 현대 수학의 공통 언어가 되었습니다.

천재 수학자로 알려진 갈루아(1811~1832)는 현대 수학의 창시자 중 한 사람이다. 그가 제안한 '갈루아장', '갈루아군', '갈루아 이론'은 모두 현대의 가장 중요한 연구이다. 대수학. 갈루아군 이론은 19세기의 가장 뛰어난 수학적 업적 중 하나로 인정받고 있습니다. 그는 방정식 풀이성 문제에 대한 포괄적이고 철저한 답변을 제공하여 수백 년 동안 수학자들을 괴롭혔던 문제를 해결했습니다. 갈루아군 이론은 또한 자 및 컴퍼스를 사용하여 기하학적 도형을 그릴 수 있는지 여부를 판단하는 일반적인 방법을 제공하고 임의의 각도를 삼등분하거나 정육면체를 두 배로 늘리는 문제를 만족스럽게 해결합니다. 가장 중요한 것은 군이론이 계산을 구조 연구로 대체하고, 계산 연구 중심에서 구조적 개념 연구를 활용하는 사고방식으로 사고방식을 바꾸고, 수학적 연산을 분류함으로써 군이론이 급속도로 발전하는 등 새로운 연구 분야를 개척했다는 점이다. 수학의 새로운 분야로 현대 수학의 형성과 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 해밀턴은 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는 대수학, 즉 쿼터니언 대수학을 발명했습니다. 다음 해에 Grassmann은 몇 가지 일반적인 대수학 유형을 도출했습니다. 1857년에 Cayley는 또 다른 비가환 대수, 즉 행렬 대수를 설계했습니다. 그들의 연구는 추상 대수학(현대 대수학이라고도 함)의 문을 열었습니다. 실제로, 많은 대수 시스템은 일반 대수의 일부 가정을 약화 또는 삭제하거나 일부 가정을 다른 가정과 호환되는 다른 가정으로 대체하여 연구할 수 있습니다.

1870년에 크로닉은 유한 아벨군에 대한 추상적 정의를 내렸고, 데데킨트는 1893년에 대수적 체를 연구하기 시작했으며, 1910년에 슈타이니츠는 추상체를 정의했습니다. 고체의 일반 추상 이론; Dedekind와 Kronik은 1910년에 고리 이론을 설립했으며 Steinitz는 그룹, 대수, 필드 등을 포함한 대수 시스템에 대한 연구를 요약했습니다.

추상대수학의 창시자 중 한 명으로 알려져 있으며 대수학의 여왕으로 알려진 뛰어난 여성 수학자 그녀는 1882년 3월 23일 독일 에를랑겐에서 태어났다. 그녀는 1900년에 대수학에 입학했습니다. 에를랑겐 대학교에서 그는 수학자 고든의 지도 아래 1907년에 박사 학위를 받았습니다.

Noether의 연구는 대수 위상수학, 대수 정수론, 대수 기하학의 발전에 중요한 영향을 미쳤습니다. 1907년부터 1919년까지 그녀는 주로 대수불변과 미분불변을 연구했습니다. 박사 학위 논문에서 그녀는 3차원 및 4차원 형태의 완전한 불변 세트를 제시했습니다. 합리적 함수 영역에 대한 유한한 합리적 기반의 존재 문제도 해결되었습니다. 유한 그룹의 불변량이 유한 기반을 갖는다는 건설적인 증거를 제시하십시오. 그녀는 소거법을 사용하지 않고 직접 미분법을 사용하여 미분 불변량을 생성했습니다. 괴팅겐 대학교에서의 첫 논문에서 그녀는 연속군(거짓군) 하에서 불변량의 문제를 논의하고 대칭성과 결합한 Noether의 정리를 제시했습니다. 불변성은 물리학의 보존 법칙과 관련이 있습니다.

1920년부터 1927년까지 그녀는 가환대수학과 '가환산술'을 주로 공부했다. 1916년 이후 그녀는 고전 대수학에서 추상 대수학으로 전환하기 시작했습니다. 1920년에 그녀는 "왼쪽 주형"과 "오른쪽 주형"이라는 개념을 도입했습니다. 1921년에 작성된 이상적인 적분고리 이론은 교환 대수학 발전의 이정표였습니다. 교환 가능한 뇌터 고리 이론을 확립하고 준소수 분해 정리를 입증했습니다.

1926년에 그는 대수수장과 대수함수장의 이상론의 추상적 구성을 발표하고, 데데 금고리의 공리를 설명하고, 소이상인수 고유 분해 정리의 필요충분조건을 지적했습니다. 뇌터의 이론은 현대 수학의 '고리'와 '이상'의 체계론으로 일반적으로 추상적인 대수형식의 시대는 1926년으로 여겨진다. 대수 방정식의 뿌리 대수 연산 규칙과 숫자, 단어 및 보다 일반적인 요소의 다양한 대수 구조를 연구하여 고전 대수에서 추상 대수로의 필수적인 변환을 완료합니다. 뇌터(Noether)는 추상대수학의 창시자 중 한 사람으로 마땅히 칭송을 받고 있습니다.

1927년부터 1935년까지 Noether는 비가환 대수학과 "비교환 산술"을 연구했습니다. 그녀는 소위 "초복합계", 즉 대수학을 기반으로 표상 이론, 이상 이론, 모듈러 이론을 통합했습니다. 이후에는 외적(cross product)의 개념이 도입되었고 유한차원 갈루아 전개를 결정하는 Brauer 그룹이 사용되었습니다. 마지막으로 대수학의 주정리의 증명에 이르면, 대수수장에서 중심나눔대수는 순환대수이다. 그녀의 학생 팬을 통해. 독일. 월든의 유명한 저서 '현대 수학'은 널리 보급되었습니다. 그녀의 주요 논문은 Nott 전집(1982)에 수록되어 있습니다.

1847년 부울 대수학에서 출발한 격자이론은 1930년 비어호프가 정립하였고, 제2차 세계대전 이후 다양한 대수체계 이론이 등장하였고, 1955년에는 카르탄(Cartan), 그로진딕(Grosindyck), 엘렌 버크(Ellen Burke)가 이론을 정립하였다. 상동대수학.

수학자들은 이러한 대수 구조를 200개 이상 연구했는데, 그 중 가장 중요한 것은 결합 법칙을 따르지 않는 대수의 예인 Dero 대수와 거짓말 대수입니다. 이들 작품의 대부분은 20세기에 속하며 현대 수학의 일반화와 추상화 개념을 완전히 반영했습니다.

중국 수학자들의 추상대수학 연구는 1930년대부터 시작됐다. 특히 Zeng Jiongzhi, Hua Luogeng 및 Zhou Weiliang의 작업은 여러 측면에서 의미 있고 중요한 결과를 얻었습니다.